9.2 Transition Matrices

9.2.1 Transition states

• 24 state labels
• 25 new_state labels

# transition matrix
T_matrix <- retro2016_complete |> select(state, new_state) |> table()

Play State Transition Matrix
2016 Season
state	000 0	000 1	000 2	001 0	001 1	001 2	010 0	010 1	010 2	011 0	011 1	011 2	100 0	100 1	100 2	101 0	101 1	101 2	110 0	110 1	110 2	111 0	111 1	111 2	3
000 0	1512	30632	0	255	0	0	2278	0	0	0	0	0	10641	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
000 1	0	950	22530	0	169	0	0	1520	0	0	0	0	0	7675	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
000 2	0	0	831	0	0	122	0	0	1193	0	0	0	0	0	6213	0	0	0	0	0	0	0	0	0	18042
001 0	12	109	3	5	224	0	25	1	0	0	0	0	72	4	0	54	0	0	0	0	0	0	0	0	0
001 1	0	39	372	0	10	644	0	85	10	0	0	0	0	331	35	0	270	0	0	0	0	0	0	0	14
001 2	0	0	61	0	0	17	0	0	115	0	0	0	0	0	358	0	0	446	0	0	0	0	0	0	1776
010 0	99	13	19	17	806	0	174	1270	0	15	0	0	171	52	0	303	0	0	326	0	0	0	0	0	0
010 1	0	151	22	0	28	958	0	240	2269	0	15	0	0	311	55	0	336	0	0	681	0	0	0	0	32
010 2	0	0	155	0	0	39	0	0	383	0	0	3	0	0	495	0	0	216	0	0	1035	0	0	0	4321
011 0	24	1	1	5	99	2	20	50	1	1	242	0	30	3	0	52	6	0	6	6	0	95	0	0	0
011 1	0	36	6	0	13	190	0	60	141	0	9	480	0	87	6	0	131	23	0	9	16	0	306	0	23
011 2	0	0	38	0	0	12	0	0	87	0	0	1	0	0	125	0	0	53	0	0	1	0	0	328	1237
100 0	314	4	1223	46	22	0	157	943	0	372	0	0	0	4479	0	421	0	0	1966	0	0	0	0	0	0
100 1	0	353	13	0	80	47	0	178	825	0	382	0	0	2	5543	0	497	0	0	2414	0	0	0	0	1564
100 2	0	0	338	0	0	67	0	0	255	0	0	255	0	0	9	0	0	505	0	0	2261	0	0	0	7926
101 0	28	1	89	11	3	10	8	41	2	30	37	0	0	138	3	31	232	0	132	22	0	63	0	0	0
101 1	0	72	2	0	14	7	0	20	127	0	69	46	0	0	324	0	75	456	0	260	26	0	148	0	253
101 2	0	0	63	0	0	16	0	0	53	0	0	46	0	0	1	0	0	129	0	0	230	0	0	235	1689
110 0	81	1	0	8	5	219	27	6	28	88	281	0	0	7	22	55	266	0	82	830	0	417	0	0	5
110 1	0	127	3	0	32	7	0	63	11	0	146	313	0	1	10	0	129	421	0	214	1598	0	716	0	544
110 2	0	0	156	0	0	28	0	0	125	0	0	146	0	0	2	0	0	242	0	0	249	0	0	648	3794
111 0	18	0	0	2	0	46	9	1	3	20	27	18	0	7	0	24	64	2	27	49	4	113	242	0	2
111 1	0	44	3	0	13	1	0	18	2	0	57	84	0	0	5	0	41	169	0	86	123	0	254	531	211
111 2	0	0	46	0	0	15	0	0	31	0	0	61	0	0	0	0	0	87	0	0	100	0	0	204	1370

table code

T_df <- T_matrix |> 
  as.data.frame() |>
  pivot_wider(names_from = new_state, values_from = Freq)

T_df |>
  gt() |>
  cols_align(align = "center") |>
  data_color(columns = -state,
             palette = "inferno") |>
  tab_header(title = "Play State Transition Matrix",
             subtitle = "2016 Season")

9.2.2 Absorbing states

When the inning reaches 3 outs, then it stays at 3 outs, so the probability of staying in this state is 1

# probability matrix
P_matrix <- prop.table(T_matrix, 1)
P_matrix <- P_matrix |> rbind("3" = c(rep(0, 24), 1))

Play State Transition Probability Matrix
2016 Season
state	000 0	000 1	000 2	001 0	001 1	001 2	010 0	010 1	010 2	011 0	011 1	011 2	100 0	100 1	100 2	101 0	101 1	101 2	110 0	110 1	110 2	111 0	111 1	111 2	3
000 0	0.033	0.676	0.000	0.006	0.000	0.000	0.050	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.235	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
000 1	0.000	0.029	0.686	0.000	0.005	0.000	0.000	0.046	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.234	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
000 2	0.000	0.000	0.031	0.000	0.000	0.005	0.000	0.000	0.045	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.235	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.683
001 0	0.024	0.214	0.006	0.010	0.440	0.000	0.049	0.002	0.000	0.000	0.000	0.000	0.141	0.008	0.000	0.106	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
001 1	0.000	0.022	0.206	0.000	0.006	0.356	0.000	0.047	0.006	0.000	0.000	0.000	0.000	0.183	0.019	0.000	0.149	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.008
001 2	0.000	0.000	0.022	0.000	0.000	0.006	0.000	0.000	0.041	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.129	0.000	0.000	0.161	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.640
010 0	0.030	0.004	0.006	0.005	0.247	0.000	0.053	0.389	0.000	0.005	0.000	0.000	0.052	0.016	0.000	0.093	0.000	0.000	0.100	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
010 1	0.000	0.030	0.004	0.000	0.005	0.188	0.000	0.047	0.445	0.000	0.003	0.000	0.000	0.061	0.011	0.000	0.066	0.000	0.000	0.134	0.000	0.000	0.000	0.000	0.006
010 2	0.000	0.000	0.023	0.000	0.000	0.006	0.000	0.000	0.058	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.074	0.000	0.000	0.032	0.000	0.000	0.156	0.000	0.000	0.000	0.650
011 0	0.037	0.002	0.002	0.008	0.154	0.003	0.031	0.078	0.002	0.002	0.376	0.000	0.047	0.005	0.000	0.081	0.009	0.000	0.009	0.009	0.000	0.148	0.000	0.000	0.000
011 1	0.000	0.023	0.004	0.000	0.008	0.124	0.000	0.039	0.092	0.000	0.006	0.312	0.000	0.057	0.004	0.000	0.085	0.015	0.000	0.006	0.010	0.000	0.199	0.000	0.015
011 2	0.000	0.000	0.020	0.000	0.000	0.006	0.000	0.000	0.046	0.000	0.000	0.001	0.000	0.000	0.066	0.000	0.000	0.028	0.000	0.000	0.001	0.000	0.000	0.174	0.657
100 0	0.032	0.000	0.123	0.005	0.002	0.000	0.016	0.095	0.000	0.037	0.000	0.000	0.000	0.450	0.000	0.042	0.000	0.000	0.198	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
100 1	0.000	0.030	0.001	0.000	0.007	0.004	0.000	0.015	0.069	0.000	0.032	0.000	0.000	0.000	0.466	0.000	0.042	0.000	0.000	0.203	0.000	0.000	0.000	0.000	0.131
100 2	0.000	0.000	0.029	0.000	0.000	0.006	0.000	0.000	0.022	0.000	0.000	0.022	0.000	0.000	0.001	0.000	0.000	0.043	0.000	0.000	0.195	0.000	0.000	0.000	0.682
101 0	0.032	0.001	0.101	0.012	0.003	0.011	0.009	0.047	0.002	0.034	0.042	0.000	0.000	0.157	0.003	0.035	0.263	0.000	0.150	0.025	0.000	0.072	0.000	0.000	0.000
101 1	0.000	0.038	0.001	0.000	0.007	0.004	0.000	0.011	0.067	0.000	0.036	0.024	0.000	0.000	0.171	0.000	0.039	0.240	0.000	0.137	0.014	0.000	0.078	0.000	0.133
101 2	0.000	0.000	0.026	0.000	0.000	0.006	0.000	0.000	0.022	0.000	0.000	0.019	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.052	0.000	0.000	0.093	0.000	0.000	0.095	0.686
110 0	0.033	0.000	0.000	0.003	0.002	0.090	0.011	0.002	0.012	0.036	0.116	0.000	0.000	0.003	0.009	0.023	0.110	0.000	0.034	0.342	0.000	0.172	0.000	0.000	0.002
110 1	0.000	0.029	0.001	0.000	0.007	0.002	0.000	0.015	0.003	0.000	0.034	0.072	0.000	0.000	0.002	0.000	0.030	0.097	0.000	0.049	0.369	0.000	0.165	0.000	0.125
110 2	0.000	0.000	0.029	0.000	0.000	0.005	0.000	0.000	0.023	0.000	0.000	0.027	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.045	0.000	0.000	0.046	0.000	0.000	0.120	0.704
111 0	0.027	0.000	0.000	0.003	0.000	0.068	0.013	0.001	0.004	0.029	0.040	0.027	0.000	0.010	0.000	0.035	0.094	0.003	0.040	0.072	0.006	0.167	0.357	0.000	0.003
111 1	0.000	0.027	0.002	0.000	0.008	0.001	0.000	0.011	0.001	0.000	0.035	0.051	0.000	0.000	0.003	0.000	0.025	0.103	0.000	0.052	0.075	0.000	0.155	0.323	0.129
111 2	0.000	0.000	0.024	0.000	0.000	0.008	0.000	0.000	0.016	0.000	0.000	0.032	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.045	0.000	0.000	0.052	0.000	0.000	0.107	0.716
3	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000	1.000

table code

P_df <- P_matrix |> as.data.frame()
P_df <- cbind(c(as.character(T_df$state), "3"), P_df)
colnames(P_df)[1] <- "state"

P_df |>
  gt() |>
  cols_align(align = "center") |>
  data_color(columns = -state,
             palette = "inferno") |>
  fmt_number(columns = -state,
             decimals = 3) |>
  tab_header(title = "Play State Transition Probability Matrix",
             subtitle = "2016 Season")

9.2.3 Examples

we display the transition probabilities starting at the “000 0” state, no runners and no outs below

Play State Transition Probability Matrix
2016 Season
state	new_state	Prob
000 0	000 1	0.676
000 0	100 0	0.235
000 0	010 0	0.050
000 0	000 0	0.033
000 0	001 0	0.006

table code

P_matrix |>
  as_tibble(rownames = "state") |>
  filter(state == "000 0") |>
  pivot_longer(
    cols = -state, 
    names_to = "new_state", 
    values_to = "Prob" 
  ) |>
  filter(Prob > 0) |>
  arrange(desc(Prob)) |>
  gt() |>
  cols_align(align = "center") |>
  data_color(columns = Prob,
             palette = "inferno") |>
  fmt_number(columns = Prob,
             decimals = 3) |>
  tab_header(title = "Play State Transition Probability Matrix",
             subtitle = "2016 Season")

starting from the “010 2” state, runner on second with two outs

Play State Transition Probability Matrix
2016 Season
state	new_state	Prob
010 2	3	0.650
010 2	110 2	0.156
010 2	100 2	0.074
010 2	010 2	0.058
010 2	101 2	0.032
010 2	000 2	0.023
010 2	001 2	0.006
010 2	011 2	0.000

table code

P_matrix |>
  as_tibble(rownames = "state") |>
  filter(state == "010 2") |>
  pivot_longer(
    cols = -state, 
    names_to = "new_state", 
    values_to = "Prob" 
  ) |>
  filter(Prob > 0) |>
  arrange(desc(Prob)) |>
  gt() |>
  cols_align(align = "center") |>
  data_color(columns = Prob,
             palette = "inferno") |>
  fmt_number(columns = Prob,
             decimals = 3) |>
  tab_header(title = "Play State Transition Probability Matrix",
             subtitle = "2016 Season")